Given a binary tree, determine if it is height-balanced.

For this problem, a height-balanced binary tree is defined as a binary tree in which the depth of the two subtrees of every node never differ by more than 1.

思路：这题有两种方法。

Top down approach

设计一个depth函数，递归地返回一个子树的深度。

一个BST平衡的条件为：为空；或者左右子树皆平衡，且左右子树的深度相差不超过1。

1 class Solution { 2 public: 3     int depth(TreeNode *root) 4     { 5         if (!root) return 0; 6         return max(depth(root->left), depth(root->right)) + 1; 7     } 8     bool isBalanced (TreeNode *root) { 9         if (!root) return true;10         int left = depth(root->left);11         int right = depth(root->right);12         return abs(left - right) <= 1 && isBalanced(root->left) && isBalanced(root->right); 13     }14 };

复杂度分析：

用master theory: depth函数为T(n) = 2T(n/2) + 1，为O(n)；

isBalanced函数为T(n) = 2T(n/2) + O(n)，为O(nlogn)。

如果这种方法想让时间复杂度降为O(n)，则需要用map记录下每个子树的深度，以后就不需要再计算了。但空间复杂度为O(n)。

Bottom up approach

自底向上进行判断。使用一个help函数，若子树为平衡的，则返回该子树的深度，否则返回0。该方法每个节点只访问一遍，因此复杂度为O(n)。

1 class Solution { 2 public: 3     int help(TreeNode *root) 4     //balanced -- result >= 0 5     //not balanced -- result = -1 6     { 7         if (!root) return 0; 8         int left = help(root->left); 9         if (left == -1) return -1;10         int right = help(root->right);11         if (right == -1) return -1;12         if (abs(left - right) > 1) return -1;13         return max(left, right) + 1;14     }15     bool isBalanced (TreeNode *root) {16         return help(root) != -1;17     }18 };